KÜMELER KONU ANLATIMI

KÜMELER

a)Küme kavramı nedir?

Küme; nesnelerin özelliklerine göre tanımlandığı bir topluluktur. Örneğin dört bacaklı küçük baş hayvanlar dediğimiz zaman bu bir küme olur veya 1 den 20 ye kadar olan tek sayılar dediğimiz zaman 1 den 20 ye kadar olan tek sayılar bir kümeyi oluşturur. Kümeleri oluşturan her bir nesneye kümenin elemanı denir. Kümeler A, B, C, D, … gibi büyük harfler ile gösterilir. Bir D kümesi içerisinde a elemanı bulunuyorsa bu ‘’ a ∈ D ‘’ biçiminde yazılır ve ‘’ a elemanıdır D ‘’ diye okunur. Eğer bir kümenin içerisinde eleman yok ise mesela; B kümesi içerisinde f elemanı yok ise bu da  ‘’f ∉ B’’ biçiminde yazılır ve  ‘’ f elemanı değildir B ’’ diye okunur. Bir kümenin eleman sayısı ise s( A ) ile gösterilir.

Kümelerin gösterimi

a)Liste yöntemi

Kümenin elemanlarının  {  } biçiminde bir parantez içerisine yazılmasına denir.

A = { 2, 4, 6, 8 }

b) Ortak özellik yöntemi

Kümenin elemanlarının ortak özellikleri belirtilerek küme içerisine yazılır.

A = { 21 den küçük tek doğal sayılar }

c) Venn şeması

Kümeyi oluşturan elemanlar kapılı bir şekil içerisine önüne  ‘  . ‘ konularak yazılmasına denir.

KÜME ÇEŞİTLERİ

a)Evrensel küme

Üzerinde işlem yapılan ve bütün kümeleri kapsayan, boş kümeden farklı olan kümeye evrensel küme denir. Genellikle E harfi ile gösterilir.

b) Sonlu küme

Elemanları sayılarak bitirilebilen kümelerdir.

A = { 3 ile 15 arasındaki doğal sayılar }

c) Sonsuz küme

Elemanları sayılarak bitirilemeyen kümelere denir.

A = { 25 ten büyük doğal sayılar }

d) Boş küme

Elemanı olmayan kümeye denir. Boş küme { } veya Ø  ile gösterilir.

A = { }

ALT KÜME

A ve B iki küme olsun. B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B ye A kümesinin alt kümesi denir.  B ⊂ A  biçiminde gösterilir.

B kümesi A kümesinin alt kümesi ise A kümesi B kümesini kapsar denir. A ⊃ B biçiminde gösterilir.

DİKKAT!!!

-          Boş küme her kümenin alt kümesidir. (Ø ⊂ A) 

-          Her küme kendisinin alt kümesidir.

-          Her küme evrensel kümenin alt kümesidir.

-          A, B ve C kümeleri verilsin. (A ⊂ B) ve (B ⊂ C) ise A ⊂ C dir.

-          A ve B kümeleri verilsin. (A ⊂ B) ve (B ⊂ A) ⇔ A = B dir.

-          s(A) = n olmak üzere;

-          A kümesinin  alt küme sayısı 2ⁿ  dir.

-          A kümesinin r elemanlı alt küme sayısı ise;

 

A kümesinin en çok r elemanlı alt kümelerinin sayısı ;

A kümesinin en az r elemanlı alt küme sayısı ise;

ÖZALT KÜME

Bir kümenin kendisi hariç diğer alt kümelerine o kümenin özalt kümesi denir. s( A ) = n olmak üzere A kümesinin özalt kümesi 2ⁿ – 1 dir.

KUVVET KÜMESİ

Bir kümenin alt kümelerinin kümesine o kümenin kuvvet kümesi denir. A kümesinin kuvvet kümesi   P( A) ile gösterilir.

EŞİT KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit küme denir. A = B şeklinde gösterilir ve A kümesi B kümesine eşittir.

KÜMLERDE İŞLEMLER

A)Birleşim işlemi

A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşimi denir. AUB şeklinde gösterilir.

B) Kesişim işlemi

A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarında oluşan kümeye bu iki kümenin kesişimi denir. A ∩ B  şeklinde gösterilir.

C) Tümleme işlemi

E, evrensel küme ve A ⊂ E olsun. Evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A' nın tümleyeni denir. A^I ile gösterilir.

D) Fark işlemi

A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin elemanları içinden varsa B kümesinin elemanları çıkarılarak elde edilen kümeye A fark B kümesi denir. A \ B ya da  A – B şeklinde gösterilir.